Objectif de l’UE

Le cours est divisé en deux parties
• une analyse de Fourier et applications.
• une introduction au calcul tensoriel.

Dans la première partie, on définit les transformées et les séries de Fourier, leurs propriétés, leur utilité et leurs limites liées au phénomène de Gibbs et de repliement spectral. Le cours est illustré par de nombreux exemples : résolution d’équations aux dérivées partielles (EDP), application en optique, électromagnétisme, traitement du signal (son, image, enregistrement quelconque) par analyse de Fourier des données acquises.
Dans la deuxième partie, on rappelle les notations vectorielles/tensorielles. On aborde ensuite les espaces tensoriels, leur définition et propriétés ainsi que les composantes covariantes et contravariantes. On introduit les opérateurs tensoriels : produit scalaire, vectoriel, tensoriel, trace. On passe ensuite en revue les coordonnées curvilignes avec une application aux opérateurs différentiels (grad, div, rot, laplacien) en géométrie cartésienne, cylindrique et sphérique. Le cours est parsemé d’exemples empruntés à la mécanique du point, la mécanique du solide, l’hydrodynamique, la résistance des matériaux, l’électromagnétisme et la gravitation.


Contenu des enseignements

Définition des séries de Fourier trigonométriques et exponentielles. Propriétés. Dérivation et intégration des séries de Fourier. Application en calcul numérique. Convergence de la série Fourier. Phénomène de Gibbs, de repliement spectral. Notion de spectre de puissance et d’amplitude. Théorème de Shannon. Quelques exemples d’application. Définition de la transformée de Fourier et de son inverse. Propriétés. Produit et théorème de convolution. Formule de Parseval. Exemples d’application. Résolution des EDP. Pourquoi le calcul tensoriel ? Rappel de notations. Composantes contra- et covariantes. Symbole de Kronecker et de Levi- civita. Espace vectoriel et tensoriel. Produit scalaire et espace euclidien. Tenseur métrique. Changement de repère. Rotation bi- et tridimensionnelle, angles d’Euler. Espace affine. Dérivée covariante, symboles de Christoffel. Tout au long du cours, des exemples concrets d’application en physique seront proposés.

A la fin de cette UE vous serez capable de

• Calculer une transformée de Fourier, une série de Fourier.
• Reconnaître un phénomène de Gibbs et de repliement spectral.
• Résoudre une équation aux dérivées partielles.
• Calculer le spectre d’un signal et interpréter son contenu physique.
• Manipuler des objets tensoriels.
• Effectuer des changements de repère.
• Comprendre l’intérêt et la souplesse du calcul tensoriel.
• Appliquer le formalise tensoriel pour résoudre des problèmes dans tous les domaines de la physique : résistance des matériaux, mécanique du point, du solide, des milieux continus, électromagnétisme, gravitation.