Topologie des espaces vectoriels normés : en dimension finie, complétude, espace de Banach, quelques exemples, projection sur les espaces de dimension finie, espace des applications linéaires, dual topologique.
Espaces de Hilbert : base hilbertienne, inégalité de Bessel, identité de Fourier et de Parseval. Exemple de l’espace H1(S1). Espace des fonctions intégrables, les espaces Lp (inégalité de Hölder, de Minkowski), dualité lp-lq, dualité Lp-Lq éventuellement sans preuve complète.
Espaces de fonctions continues et espaces de fonctions dérivables : théorèmes d’approximation de Weierstrass, de Korovkin, théorème d’Ascoli.
Séries de Fourier : d’abord en dimension 1 puis en dimension quelconque. Différents aspects de la convergence : C0, L2, L1, L8. Application à l’équation de la chaleur.
Séries de Fourier : d’abord en dimension 1 puis en dimension quelconque. Différents aspects de la convergence : C0, L2, L1, L8. Application à l’équation de la chaleur.