L'objectif de ce cours est de donner aux étudiants les outils théoriques dont ils auront besoin pour aborder, en principe, n'importe quel problème de physique ou de chimie quantique. Quelques heures sont consacrées en fin de module à l'application de la mécanique quantique au problème de la structure électronique.

Après une introduction aux concepts clefs de la mécanique Newtonienne (déterminisme, énergie cinétique, énergie potentielle, continuum d'énergie) et aux limites de cette dernière (étude des fentes de Young et de l'atome d'hydrogène, introduction au modèle de Bohr), la notion de fonction d'onde ainsi que les relations de de Broglie sont introduites. L'équation de Schrödinger dépendante du temps est dérivée pour une particule libre puis généralisée à une particule avec une énergie potentielle d'interaction quelconque. La notion de solution stationnaire et le passage à l'équation de Schrödinger indépendante du temps sont présentés.

La seconde partie du cours présente les outils mathématiques nécessaires à la généralisation du problème à une particule à n'importe quel système quantique. Les notations de Dirac ainsi que la notion d'espace des états quantiques sont introduites. La construction d'un espace de Hilbert est justifiée en mettant en lumière les propriétés fondamentales des opérateurs hermitiens. Les postulats de la mécanique quantique sont enfin énoncés à l'aide de ce langage mathématique.

La troisième partie du cours est consacrée à la résolution générale (i.e. pour n'importe quel système quantique) de l'équation de Schrödinger dépendante du temps pour un hamiltonien indépendant du temps. L'objectif est d'expliquer pourquoi, dans ce cas, la résolution du problème dépendant du temps passe par la résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps. Quelques solutions exactes sont discutées (atome d'hydrogène, oscillateur harmonique). La résolution approchée de l'équat ion de Schrödinger indépendante du temps est enfin abordée du point de vue de la chimie quantique. La formulation générale de la théorie des perturbations (pour des états non-dégénérés) est donnée puis appliquée, à titre d'exemple, à l'oscillateur harmonique unidimensionnel en présence d'un champ électrique uniforme. Les méthodes dites variationnelles sont également introduites de manière générale (principe variationnel, condition de stationnarité, déterminant séculaire). La méthode de Hückel est enfin présentée dans ce contexte et ce, en travaillant dans une base d'orbitales atomiques.

Une brève introduction au calcul ab initio de la structure électronique est donnée en fin de module en se limitant au problème à deux électrons (produit de Hartree, méthode Hartree-Fock, corrélation électronique).

Les cours magistraux sont complétés par des séances de travaux dirigés portant sur (i) une particule piégée sur un segment de droite, (ii) les inégalités d'Heisenberg, (iii) la composante z de l'opérateur "moment cinétique orbitalaire", (iv) un modèle dépendant du temps à deux états pour la molécule d'ammoniac, (v) l'oscillateur harmonique unidimensionnel et (vi) l'application de la méthode de Hückel à des systèmes électroniques pi.

Le cours est dispensé en anglais.
 

• Comprendre le formalisme mathématique de la mécanique quantique et son interprétation physique ;
• Savoir écrire l'équation de Schrödinger pour une molécule ;
• Pouvoir construire et résoudre un modèle quantique simple (modèle à deux niveaux par exemple) pour un système a priori complexe ;
• Avoir quelques notions de base en théorie de la structure électronique (méthode de Hückel par exemple) et savoir les appliquer.

• Dérivées partielles, équations différentielles ;
• Le cours étant dispensé en anglais, un niveau correct est nécessaire.

• Notions de base en algèbre linéaire (vecteurs, produit scalaire, opérations linéaires sur des vecteurs, représentation matricielle, somme et produit de matrices).