Outils mathématiques et Mécanique

I. Outils mathématiques

• Fonctions de la variable réelle, dérivée, interprétation géométrique de la dérivée.
• Exemples de fonctions utiles en physique : fonctions trigonométriques et leur inverses, fonctions exponentielles et logarithme, etc.
• Développement limité de ces fonctions.
• Fonctions à plusieurs variables, dérivées partielles, différentielle.
• Analyse vectorielle, produits scalaire et vectoriel.
• Repères orthonormés, vecteurs unitaires.
• Décomposition d'un vecteur dans une base orthonormée directe.
• Bases locales.
• Dérivée d’un vecteur. Dans une base fixe et locale.
• Vecteur nabla. Gradien, divergence et rotationnel.
• Systèmes de coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques.
• Intégrales curviligne, surfacique et volumique.
• Définition d'un référentiel.

II. Mécanique du point

Chapitre 1 : Unités-Géométrie-Vecteurs

• Dimensions physiques, unités du système international. Conversions d’unités.
• Tableau de conversion de longueur, surface, volume. Ordres de grandeur.

Chapitre 2 : Cinématique du point matériel

• Vecteurs position, vitesse et accélération d'un point matériel.
• Expression dans les systèmes des coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques.

• Coordonnées polaires : référentiel tournant, évolution temporelle des vecteurs unitaires.
• Base de Frenet – Rayon de courbure, analogie et différence avec la base polaire.
• Impulsion. Moment cinétique.
• Applications à l'étude de différents mouvements : mouvement uniforme, rectiligne, mouvement de rotation, trajectoire circulaire-elliptique-cycloïde, etc.

Chapi tre 3 : Dynamique du point matériel

• Référentiel Galiléen
• Forces usuelles : poids, tension, réaction, forces électrique et de gravitation , champ de gravité. Interactions fondamentales. Forces centrales (chap 7) et forces d’inertie (chap 8).
• Lois de Newton : principe d’inertie, loi fondamentale, loi des actions réciproques.

• Statique du point matériel
• Chute libre et mouvement projectile
• Plan incliné
• Pendule simple et ressort
• Forces électrique et magnétique
• Forces de gravitation.

• Moment d’une force. Couple de forces. Levier d’Archimède. Théorème du moment cinétique.

Chapitre 4 : Energie

• Forces conservatives
• Energie cinétique, potentielle, mécanique. Conservation de l’énergie mécanique. Obtention des équations du mouvement.
• Travail d’une force. Puissance. Théorème de l’énergie cinétique.

Chapitre 5 : Effets des forces de frottement

• Présence et mouvement dans un fluide. Poussée d’Archimède- Force de Stockes et de traînée.
• Retour sur la chute libre en frottement visqueux, régime transitoire du premier ordre.
• Frottement solide. Lois de Coulomb (simple).
• Non conservation de l’énergie.

Chapitre 6 : Oscillateur harmonique libre, amorti et Forcé.

Equation du mouvement d’un système masse+ressort et du pendule simple aux faibles oscillations. Résolution avec conditions initiales :

• Conservation de l’énergie mécanique.
• Ajout du frottement visqueux. Régime transitoire du second ordre. Régimes pseudo-périodique, apériodique, critique.
• Oscillateur forcé. Résonance en position, en vitesse. Bande passante. Impédance.

.
Chapitre 7 : Mouvement d’un point matériel soumis à une force centrale en 1/r2. Lo is de Kepler.

• Définition.
• Conservation du moment cinétique. Loi des Aires. Conservation de l'énergie mécanique.
• Energie potentielle effective.
• Etats libres ou liés, retour sur les trajectoires. Lois de Kepler.
• Cas de la gravitation. Satellite. Vitesse de satellisation, de libération. Force de frottements.

Chapitre 8 : Changement de référentiel. Dynamique terrestre

• Référentiel tournant. Composition des vitesses et accélérations.
• Dynamique dans un référentiel non Galiléen. Forces d’inertie. Exemple simple en translation.
• Référentiel héliocentrique, géocentrique, terrestre, terrestre local.
• Dynamique terrestre. Force d’inertie d’entraînement. Marées. Effet de la force de Coriolis : déviation de particules (dans le plan horizontal: analogie avec la force magnétique), chute libre et déviation vers l’est, le pendule de Foucault

III. Optique géométrique

• La lumière et l'optique géométrique. Rayons lumineux.
• Dioptres et miroirs.
• Notion d'objet, image, stigmatisme et aplanétisme.
• Réflexion et réfraction. Lois de Snell-Descartes.
• Approximation de Gauss.
• Dioptres et miroirs dans l'approximation de Gauss.
• Les lentilles minces et épaisses.
• Instruments d'optique : loupe, lunette et microscope.

Optique géométrique

• La lumière et l'optique géométrique. Rayons lumineux.
• Dioptres et miroirs.
• Notion d'objet, image, stigmatisme et aplanétisme.
• Réflexion et réfraction. Lois de Snell-Descartes.
• Approximation de Gauss.
• Dioptres et miroirs dans l'approximation de Gauss.
• Les lentilles minces et épaisses.
• Instruments d'optique : loupe, lunette et microscope.